रेखाएँ और कोण (Ch-6) Notes || Class 9 Math Chapter 6 in Hindi ||

पाठ – 6

रेखाएँ और कोण

In this post we have given the detailed notes of class 9 Math chapter 6 Lines and Anglesin Hindi. These notes are useful for the students who are going to appear in class 9 board exams.

इस पोस्ट में कक्षा 9 के गणित के पाठ 6 रेखाएँ और कोण के नोट्स दिये गए है। यह उन सभी विद्यार्थियों के लिए आवश्यक है जो इस वर्ष कक्षा 9 में है एवं गणित विषय पढ़ रहे है।

BoardCBSE Board, UP Board, JAC Board, Bihar Board, HBSE Board, UBSE Board, PSEB Board, RBSE Board, CGBSE Board, MPBSE Board
TextbookNCERT
ClassClass 9
SubjectMath
Chapter no.Chapter 6
Chapter Nameरेखाएँ और कोण (Lines and Angles)
CategoryClass 9 Math Notes in Hindi
MediumHindi
Class 9 Math Chapter 6 रेखाएँ और कोण Notes in Hindi

पाठ 6, रेखाएँ और कोण

आधारभूत पद और परिभाषाएं

रेखाखण्ड

image001 9

किरण

image002 10

रेखा-

image003 5

image004 5

AGF संरेख बिन्दु हैं।

BCE असंरेख बिन्दु हैं।

कोण

image005 5

कोणों के प्रकार-

image006 3

न्यूनकोण-

image007 4

एक न्यूनकोण का माप से 90° के बीच होता है।

समकोण-

image008 3

समकोण कोण ठीक 90° के बराबर होता है।

अधिक कोण-

image009 2

अधिक कोण कोण 90° से ज्यादा और 180° से कम

ऋजु कोण-

image010 1

ऋजु कोण कोण 180° के बराबर

वृहत्तकोण-

image011 1

कोण 180° से ज्यादा और 360° से कम

पूरक कोण

image012 1

दो कोण जो एक साथ समकोण बनाते हैं, पूरक कोण कहलाते हैं।

सम्पूरक कोण-

image013 1

जिनका योग 180° हो

आसन्न कोण-

वैसे दो कोण जिसकी एक भुजा उभयनिस्ट हो और उनका एक ही शीर्ष हो आसन्न कोण कहलाता है।

image014 1

इन कोणों को आसन्न कोण कहते हैं।

image015 2

image016 2

कोणों का रैखिक युग्म

image017 1

शीर्षाभिमुख कोण

प्रतिच्छेदी रेखाए और अप्रतिच्छेदी रेखाए

image018 1

image019 2

कोणो का युग्म

image020 2

image021 2AOC + image021 2BOC = image021 2AOB…….(i)

image021 2AOB = 180° …..(ii)

image021 2AOC + image021 2BOC = 180°

अभिगृहीत I

अभिगृहीत 1: यदि एक किरण एक रेखा पर खड़ी हो, तो इस प्रकार बने दोनों आसन्न कोणों का योग 180° होता है।

image022 2

अभिगृहीत 2: यदि दो आसन्न कोणों का योग 180° हो तो एक किरण रेखा पर खड़ी होती है।

image023 2

image021 2AOC + image021 2COB

125° + 55° = 180°

प्रमेय

यदि दो रेखाएं परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।

सिद्ध: यह दिया है कि दो रेखाएं एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। अतः, मान लीजिए कि AB और CDदो रेखाएं हैं जो परस्पर बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

image024 2

image021 2AOC और image021 2BOD,

image021 2AOD और image021 2BOC शीर्षाभिमुख कोण हैं।

सिद्ध करे: image021 2AOC = image021 2BOD

image021 2AOD = image021 2BOC

यहां किरण OA रेखा CD पर खड़ी है।

अत: image021 2AOC + image021 2AOD = 180° (रैखिक युग्म अभिगृहीत) …..(1)

इसी प्रकार image021 2AOD + image021 2BOD = 180° …..(2)

(1) और (2) से, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि

image021 2AOC + image021 2AOD = image021 2AOD + image021 2BOD

image021 2AOC = image021 2BOD

अतः image021 2AOD = image021 2BOC

समांतर रेखाएं और तिर्यक रेखाएं

image025 2 image026 2

image021 21, image021 22, image021 27 और image021 28 बाह्य कोण कहलाते हैं।

image021 23, image021 24, image021 25 और image021 26 अंतः कोण कहलाते हैं।

संगत कोण:

  • image021 21 और image021 25
  • image021 22 और image021 26
  • image021 24 और image021 28
  • image021 23 और image021 27

एकांतर अंतः कोण:

  • image021 24 और image021 26
  • image021 23 और image021 25

एकांतर बाह्य कोण :

  • image021 21 और image021 27
  • image021 22 और image021 28

तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण :

  • image021 24 और image021 25
  • image021 23 और image021 26

तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण क्रमागत अंतः कोण या संबंधित कोण या सह-अंतः कोण कहलाते हैं।

image028 1

यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो संगत कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।

image029 1 image021 21 = image021 25 , image021 22 = image021 26 , image021 24 = image021 28 , image021 23 = image021 27

अभिगृहीत 3: यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो संगत कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।

image030 1

संगत कोण अभिगृहीत

विलोम: यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि संगत कोणों का एक युग्म बराबर हो, तो दोनों रेखाएं समांतर होती हैं।

अभिगृहीत 4: यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि संगत कोणों का एक युग्म बराबर हो, तो दोनों रेखाएं परस्पर समांतर होती हैं।

image031 1

image021 2PQA = image021 2QRC (संगत कोण अभिगृहीत) …(i)

image021 2PQA = image021 2BOR ( शीर्षाभिमुख कोण) …(ii)

अतः (i) और (ii), से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि

image021 2BQR = image021 2QRC

इसी प्रकार, image021 2AQR = image021 2ORD

यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो एकांतर अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।

प्रमेय:

image032 1

दिया है: image021 2BQR = image021 2QRC

image021 2BQR = image021 2PQA …(i)

(यशीर्षाभिमुख कोण)

image021 2BOR = image021 2QRC …(ii) (दिया है)

अतः (i) और (ii)

image021 2PQA = image021 2QRC

(संगत कोण)

अतः AB || CD

(संगत कोण अभिगृहीत का विलोम)

अतः यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि एकांतर अंतः कोणों का एक युग्म बराबर है, तो दोनों रेखाएं परस्पर समांतर होती हैं।

प्रमेय:

image033 1

यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म संपूरक होता है।

यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का एक युग्म संपूरक है, तो दोनों रेखाएं परस्पर समांतर होती हैं।

एक ही रेखा के समांतर रेखाएं

image034 1

दिया है: रेखा m || रेखा l और रेखा n || रेखा l

image021 21 = image021 22 (संगत कोण अभिगृहीत)

image021 21 = image021 23 (संगत कोण अभिगृहीत)

image021 22 = image021 23

परन्तु image021 22 और image021 23 संगत कोण हैं और बराबर हैं।

अतः रेखा m || रेखा n

(संगत कोण अभिगृहीत का विलोम)

प्रमेय:

वे रेखाएं जो एक ही रेखा के समांतर हों, परस्पर समांतर होती हैं।

उदाहरण:

image035 1

दिया है कि यदि PQ || RS, image021 2MXQ = 135° और image021 2MYR= 40°, तो image021 2XMY ज्ञात कीजिए।

AB || PQ, PQ || RS

= AB || RS

अब, image021 2QXM + image021 2XMB = 180°

(AB || PQ, तिर्यक रेखा XM के एक ही ओर के अंतः कोण हैं।)

परन्तु image021 2QXM = 135° अतः 135° + image021 2XMB = 180°

इसलिए, image021 2XMB = 45° …(i)

अब, image021 2BMY = image021 2MYR (AB || RS, एकांतर कोण)

इसलिए, image021 2BMY = 40° …(ii)

(i) और (ii), को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

image021 2XMB + image021 2BMY = 45° + 40°

इस प्रकार, image021 2XMY = 85°

त्रिभुजों का कोण योग गुण

क्या आप बता सकते हैं त्रिभुज के सभी कोणों का योग कितना होता है?

त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।

image036 1

सिद्ध करना है कि: image021 21 + image021 22 + image021 23 = 180°

अब XPY एक रेखा है।

अतः image021 24 + image021 21 + image021 25 = 180° …(i)

परन्तु XPY II QR और PQ, PR तिर्यक रेखाएं हैं।

इसलिए, image021 24 = image021 22 और image021 25 = image021 23

(एकांतर कोणों के युग्म)

अब image021 24 और image021 25 के मान (i), रखने पर

image021 22 + image021 21 + image021 23 = 180°

या image021 21 + image021 22 + image021 23 = 180°

प्रमेय:

image037 1

image021 23 + image021 24 = 180° …(i) (कोणों का रैखिक युग्म)

21+22+ 23= 180°…(ii)

 (त्रिभुज के सभी कोणों का योग)

(i) और (ii), के आधार पर हम कह सकते हैं।

image021 24 = image021 21 + image021 22

यदि एक त्रिभुज की एक भुजा बढ़ाई जाए, तो इस प्रकार बना बहिष्कोण दोनों अंतः अभिमुख (विपरीत) कोणों के योग के बराबर होता है।

इस प्रमेय से यह स्पष्ट है कि किसी त्रिभुज का एक बहिष्कोण अपने दोनों अंतः अभिमुख कोणों में से प्रत्येक से बड़ा होता है।

उदाहरण: यदि QT image038 1 PR , image021 2TOR = 40° और image021 2SPR = 30°, तो x और y ज्ञात कीजिए।

image039 1

हल: image040 1TOR में,

90° + 40° + x = 180°

(त्रिभुजों के कोण योग गुण के कारण)

अतः x = 50°

साथ ही, y = image021 2SPR + x (बहिष्कोण गुण)

अतः y = 30° + 50° = 80°

  • एकांतर अंतः कोण, एकांतर वाह्य कोण, संगत कोण और तिर्यक रेखा के एक ही ओर के एकांतर कोण विभिन्न कोणों के नाम हैं जो रेखाओं के प्रतिच्छेद करने पर बनते हैं। इन नामों का प्रयोग तब करते हैं जब रेखाएं समांतर होती हैं और जब वे समांतर नहीं होती हैं।

image041

  • एकांतर वाहय कोण
  • संगत कोण
  • संगत कोण
  • बहिष्कोण

सारांश

  • यदि एक किरण एक रेखा पर खड़ी हो तो इस प्रकार बने आसन्न कोणों का योग 180° होता है और इसका विलोम भी सत्य है। इस गुण को रैखिक युग्म अभिगृहीत कहते हैं।
  • यदि दो रेखाएं परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं तो उनके शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
  • यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे तो
    • (क) संगत कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।
    • (ख) एकांतर अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।
    • (ग) तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म संपूरक होता है।
  • यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि या तो,
    • (क) संगत कोणों का कोई युग्म बराबर हो या
    • (ख) एकांतर अंतः कोणों का कोई युग्म बराबर हो या
    • (ग) तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का कोई एक युग्म संपूरक हो, तो ये दोनों रेखाएं समांतर होती हैं।

We hope that class 9 Math Chapter 6 रेखाएँ और कोण (Lines and Angles) Notes in Hindi helped you. If you have any queries about class 9 Math Chapter 6 रेखाएँ और कोण (Lines and Angles) Notes in Hindi or about any other Notes of class 9 Math in Hindi, so you can comment below. We will reach you as soon as possible…

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