हीरोन का सूत्र (Ch-12) Notes || Class 9 Math Chapter 12 in Hindi ||

पाठ – 12

हीरोन का सूत्र

In this post we have given the detailed notes of class 9 Math chapter 12 Heron’s Formulain Hindi. These notes are useful for the students who are going to appear in class 9 board exams.

इस पोस्ट में कक्षा 9 के गणित के पाठ 12 हीरोन का सूत्र के नोट्स दिये गए है। यह उन सभी विद्यार्थियों के लिए आवश्यक है जो इस वर्ष कक्षा 9 में है एवं गणित विषय पढ़ रहे है।

BoardCBSE Board, UP Board, JAC Board, Bihar Board, HBSE Board, UBSE Board, PSEB Board, RBSE Board, CGBSE Board, MPBSE Board
TextbookNCERT
ClassClass 9
SubjectMath
Chapter no.Chapter 12
Chapter Nameहीरोन का सूत्र (Heron’s Formula)
CategoryClass 9 Math Notes in Hindi
MediumHindi
Class 9 Math Chapter 12 हीरोन का सूत्र Notes in Hindi

पाठ 12, हीरोन का सूत्र

त्रिभुज का क्षेत्रफल

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए साधारण फार्मूला image002 2x आधार x लंब दिया गया है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल = image002 2× आधार × ऊँचाई

त्रिभुज का क्षेत्रफल – हीरोन के सूत्र द्वारा

हीरोन ने त्रिभुज की तीनों भुजाओं के पदों में उसके क्षेत्रफल का प्रसिद्ध (या सुपरिचित) सूत्र प्रतिपादित किया है। हीरोन के इस सूत्र को हीरो का सूत्र भी कहा जाता है। इसे नीचे दिया जा रहा हैः

त्रिभुज का क्षेत्रफल = √{s(s − a) (s − b) (s − c)}

जहाँ a, b और c त्रिभुज की भुजाएँ हैं तथा

s = त्रिभुज का अर्द्धपरिमाप = image003 2है।

image004 Copy

नोट: यह सूत्र उस स्थिति में सहायक होता है, जब त्रिभुज की ऊँचाई सरलता से ज्ञात न हो सकती हो।

  • त्रिभुज का अर्ध-परिमाप त्रिभुज के परिमाप का आधा होता है।
  • त्रिभुज की तीन भुजाएँ a, b और c हैं। जहाँ भुजा a, शीर्ष A के विपरीत भुजा को दर्शाती है, जिसका अर्थ है भुजा BC। इसी प्रकार, भुजाएँ b और c, शीर्ष B और C के विपरीत भुजाओं को दर्शाती हैं जिसका अर्थ क्रमशः भुजाएँ AC और AB है।
  • हीरोन का सूत्र तब उपयोगी होता है जब त्रिभुज की ऊँचाई न दी गई हो या आसानी से ज्ञात न हो सके।

हल सहित उदाहरण

एक त्रिभुजाकार पार्क ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, इस सूत्र का प्रयोग करें। जिसकी भुजाएं a = 40 m, b = 24 m और c = 32 m हैं।

हल:

सबसे पहले हम s ज्ञात करते हैं:

s = image005 2m

= 48 m

हीरोन के सूत्र द्वारा त्रिभुज का क्षेत्रफल = √{s(s − a) (s − b) (s − c)}

= √{48(48 − 40) (48 − 24) (48 − 32)} m²

= √{48(48 − 40) (48 − 24) (48 − 32)} m²

= √{48(8) (24) (16)} m²

= 384 m²

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 8 Cm और 11 Cm हैं और जिसका परिमाप 32 Cm है।

यहाँ परिमाप = 32 cm, a = 8 cm तथा b = 11 cm है।

इसलिए तीसरी भुजा c = 32 cm – (8 + 11) cm = 13 cm

अब, 2s = 32 है इसलिए, s = 16 cm,

s – a = (16 – 8) cm = 8 cm,

s – b = (16 – 11) cm = 5 cm,

s – c = (16 – 13) cm = 3 cm

इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल = √{s(s − a) (s − b) (s − c)}

= √{16(8) (5) (3)} cm²

= 8√30 cm²

एक त्रिभुजाकार भूखंड की भुजाओं का अनुपात 3: 5: 7 है और उसका परिमाप 300 m है। इस भूखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए भुजाएँ (मीटरों में) 3x, 5x और 7x हैं।

तब, हम जानते हैं कि 3x + 5x + 7x = 300 (त्रिभुज का परिमाप)

इसलिए, 15x = 300 है, जिससे x = 20 प्राप्त होता है।

इसलिए, त्रिभुज की भुजाएँ 3 × 20 m, 5 × 20 m और 7 × 20 m हैं।

अर्थात् ये भुजाएँ 60 m, 100 m और 140 m हैं।

अब हीरोन का सूत्र प्रयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं:

यहाँ 2s = 300 m इसलिए s = 150 m

इसलिए, क्षेत्रफल = √{s(s − a) (s − b) (s − c)}

= √{150(150 − 60) (150 − 100) (150 − 140)}

= √{150(90) (50) (10)} = 1500√3 m²

चतुर्भुजों के क्षेत्रफल ज्ञात करने में हीरोन के सूत्र का अनुप्रयोग

एक चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ तथा एक विकर्ण दिए हों, तो उसका क्षेत्रफल उसे दो त्रिभुजों में विभाजित करके और फिर हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।

हल सहित उदाहरण

कमला के पास 240m, 200m और 360m भुजाओं वाला एक त्रिभुजाकार खेत है, जहाँ वह गेहूँ उगाना चाहती है। इसी खेत से संलग्न 240m, 320m और 400m भुजाओं वाला एक अन्य खेत है, जहाँ वह आलू और प्याज उगाना चाहती है। उसने इस खेत की सबसे लम्बी भुजा के मध्य-बिन्दु को सम्मुख शीर्ष से जोड़कर उसे दो भागों में विभाजित कर दिया। इनमें से एक भाग में उसने आलू उगाए और दूसरे भाग में प्याज उगाई। गेहूँ, आलू और प्याज के लिए कितने-कितने क्षेत्रफलों (हेक्टेयर में) का प्रयोग किया गया है? (1 हेक्टेयर = 10000m² है)

हल:

मान लीजिए ABC वह खेत है, जहाँ गेहूँ उगाया गया है। साथ ही, ACD वह खेत है जिसकी भुजा AD के मध्य-बिन्दु E को C से जोड़कर इस खेत को दो भागों में विभाजित किया गया है।

a = 200 m, b = 240 m, c = 360 m

अतः s = image006 Copym = 400 m

इसलिए, गेहूँ उगाने के लिए क्षेत्रफल

= √{400(400 − 200) (400 – 240) (400 – 360)} m²

= √{400(200) (160) (40)} m²

= 16000√2 m² = 1.6 × √2 हेक्टेयर

= 2.26 हेक्टेयर

आइए अब ∆ ACD के क्षेत्रफल की गणना करते हैं

यहाँ, s = image007 2

अतः ∆ ACD का क्षेत्रफल = √{480(480 − 240) (480 − 320) (480 − 400)} m²

= √{480(240) (160) (80)} m²

= 38400 m² = 3.84 हेक्टेयर

ध्यान दीजिए कि AD के मध्य-बिन्दु E को सम्मुख शीर्ष C से जोड़ने वाला रेखाखंड त्रिभुज ACD को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो भागों में विभाजित करता है। क्या आप इसका कारण बता सकते हैं? वास्तव में, इन दोनों भागों के बराबर आधार AE और ED हैं तथा निःसंदेह इनकी संगत ऊँचाइयाँ भी बराबर हैं।

अतः, आलू उगाने के लिए क्षेत्रफल = प्याज उगाने के लिए क्षेत्रफल

= (3.84 ÷ 2) हेक्टेयर = 1.92 हेक्टेयर

हीरोन के सूत्र द्वारा एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

माना △ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है और इसकी भुजाएँ a, b, और b हैं। इस समद्विबाहु △ABC, में भुजाएँ AB और AC बराबर भुजाएँ हैं।

image008 2

सबसे पहले, हम समद्विबाहु △ABC का अर्ध-परिमाप ज्ञात करेंगे।

समद्विबाहु △ABC का अर्ध-परिमाप, s = (a + b + b)/2 = (a + 2b)/2

अब, समद्विबाहु △ABC का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – b)

= √s(s – a)(s – b)2

= (s – b)√s(s – a)

चूँकि s = (a + 2b)/2 इसलिए,

= {(a + 2b/2) – b}√{(a + 2b)/2}[{(a + 2b)/2} – a]

= {(a + 2b – 2b)/2}√{(a + 2b)/2}[{(a + 2b – 2a)/2}]

= (a/2)√{(a + 2b)/2}[{(2b – a)/2}]

= (a/2)√{(2b + a)/2}{(2b – a)/2}

= (a/2)√[{(2b)2– a2}/4]

= (a/2)(1/2)√{4b2– a2}

= (a/4)√(4b2– a2)

हीरोन के सूत्र द्वारा एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

तीनों भुजाओं की समान माप वाला त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज होता है।

माना △ABC एक समबाहु त्रिभुज है और इसकी तीन भुजाएँ a, a और a हैं।

image009 2

सबसे पहले, हम समबाहु △ABC का अर्ध-परिमाप ज्ञात करेंगे।

समबाहु △ABC का अर्ध-परिमाप, s = (a + a + a)/2 = 3a/2

अब, समबाहु △ABC का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – a)(s – a)

= √s(s – a)(s – a)2

= (s – a)√s(s – a)

चूँकि s = 3a/2 इसलिए,

= (3a/2 – a)√(3a/2)(3a/2 – a)

= {(3a – 2a)/2}√(3a/2){(3a – 2a)/2}

= (a/2)√(3a/2)(a/2)

= (a/2)√(3a2/4)

= (a/2)(a/2)√3

= (a2/4)√3

स्मरणीय तथ्य:

यदि त्रिभुज की भुजाएँ a, b और c हों, तो हीरोन के सूत्र द्वारा त्रिभुज का क्षेत्रफल

√{s(s − a) (s − b) (s − c)} होता है जहाँ s = image003 2है।

एक चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ तथा एक विकर्ण दिए हों, तो उसका क्षेत्रफल उसे दो त्रिभुजों में विभाजित करके और फिर हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।

उद्देश्य:

इस पाठ के अंत में आप निम्न करने में सक्षम हो जाएंगे।

  • हीरोन के सूत्र को परिभाषित करना।
  • हीरोन के सूत्र के लिए सूत्र लिखना।
  • हीरोन के सूत्र के प्रयोग से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना।
  • हीरोन के सूत्र के प्रयोग से चतुर्भुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करना।

परिभाषा

  • हीरोन के सूत्र का नामकरण 10 ई.पू. से 75 ई.पू. के बीच हुए ग्रीक अभियंता और गणितज्ञ अलेक्जेंड्रिया के हीरोन के नाम पर हुआ था।
  • हम इस सूत्र का प्रयोग त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लम्बाई का प्रयोग करते हुए त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कर सकते हैं।

image010 2

  • त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए दिए गए हीरोन के सूत्र को हीरो का सूत्र भी कहा जाता है।

सूत्र:

हमें क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आधार और ऊंचाई के । प्रयोग से क्षेत्रफल ज्ञात करने वाले सूत्र पर विश्वास करने की आवश्यकता नहीं है।

दो चरणों की प्रक्रिया का प्रयोग करनाः

image011 2

चरण 1: image012 2 का प्रयोग करके “S”

(त्रिभुज के परिमाप का आधा) की गणना करना।

चरण 2: image013 2का प्रयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात करना। जहां a, b और c त्रिभुज की भुजाएं हैं।

उदाहरण: 1

यदि AB = 3, BC = 2, CA = 4 भुजाएं हों तो हीरोन के सूत्र से त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

image014 2

चरण 1: अर्धपरिमाप की गणना कीजिए जो कि image015 2के बराबर है।

भुजाओं का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है।

image016 2

image017 1

चरण 2:

S का मान image018 1

सूत्र में रखने पर,

image019 1

image020 1

image021 1

उदाहरण: 2

एक त्रिभुज दिया हुआ है जिसका क्षेत्रफल 8.94 वर्ग इकाई है, परिमाप 16 और भुजाओं की लम्बाई AB = 3 और CA = 7 है, तो भुजा BC की लम्बाई कितनी है?

हल:

image022

चरण 1: अर्धपरिमाप S की गणना कीजिए

image023

यहां परिमाप 16 दिया है।

इसलिए,

image025

image026

चरण 2: ज्ञात मानक मान को इस सूत्र image027में रखिए।

चूंकि का मान अज्ञात है, इसलिए मान लीजिए कि भुजा BC की लम्बाई x है।

अतः हमे प्राप्त होता है,

image028

image029

image030

अब दोनों पक्षों का वर्ग करके x के लिए हल करिए।

image031

image032

image033

image034

image035

चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में हीरोन के सूत्र का अनुप्रयोग:

image036

यदि उनकी सभी भुजाओं की माप दी हुई हो तो हीरोन के सूत्र का प्रयोग चतुर्भुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने में भी किया जाता है।

हम चतुर्भुज को दो त्रिभुजों मे विभाजित करते हैं और फिर इसका क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।

यदि उन दोनों त्रिभुजों में से एक त्रिभुज समकोण त्रिभुज है तो पाइथागोरस के नियम के प्रयोग से उसका विकर्ण ज्ञात किया जा सकता है।

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें AB = 7 cm, BC = 6 cm, CD = 12 cm, DA = 15 cm और AC = 9 cm है।

image037

image038ABC के लिए,

image039

image040

image041

image042

अब,

हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल image043

सूत्र में मान रखने से हमें प्राप्त होता है

image038ABC का क्षेत्रफल image044 Copy

image045का क्षेत्रफल image046

image047का क्षेत्रफल = 20.98 cm

image048 के लिए,

image049

image050

image051

हीरोन के सूत्र के अनुसार

क्षेत्रफल image043

image038ACD का क्षेत्रफल image052

image053 का क्षेत्रफल image054

image053 का क्षेत्रफल = 54 cm2

अतः चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल

= image038ABC का क्षेत्रफल + image038ACD का क्षेत्रफल

= 20.98 + 54

image055चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 74.98 cm

क्या आप जानते हैं?

  • हीरोन का जन्म संभवतः 10 AD मिस्र में अलेक्जेंड्रिया नामक स्थान पर हुआ था। उन्होंने अनुप्रायोगिक गणित पर कार्य किया।
  • उनका ज्यामितीय कार्य मुख्यतः क्षेत्रमिति की समस्याओं से संबंधित था। यह कार्य तीन पुस्तकों में लिखा गया है।
  • इसी पुस्तक में, हीरोन ने त्रिभुज की तीनों भुजाओं के पदों में उसके क्षेत्रफल का प्रसिद्ध सूत्र प्रतिपादित किया है।

सारांश:

आइये हमने जो कुछ सीखा है, उसे संक्षेप में दोहराएं।

  • हीरोन के सूत्र द्वारा एक त्रिभुज के क्षेत्रफल जिसकी भुजाएं a, b और c हों, की गणना इस प्रकार की जाती है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल image043

जहां image056

  • हीरोन के सूत्र का प्रयोग किसी अनियमित चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना में किया जा सकता है यदि उसकी सभी भुजाएं दी हुई हों। इसके लिए हम चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में परिवर्तित करते हैं और फिर हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हैं।

We hope that class 9 Math Chapter 12 हीरोन का सूत्र (Heron’s Formula) Notes in Hindi helped you. If you have any queries about class 9 Math Chapter 12 हीरोन का सूत्र (Heron’s Formula) Notes in Hindi or about any other Notes of class 9 Math in Hindi, so you can comment below. We will reach you as soon as possible…

Leave a Reply

2 Comments

    सचिन

    एक समद्विबाहु त्रिभुज का 30 सेंटीमीटर है और उसकी बराबर भुजाएं 12 सेंटीमीटर लंबाई की है क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

You cannot copy content of this page